2023年7月16日，我参加了 Codeforces 885，没想到 A 题就碰了钉子。从赛后的官方题解 看，这道题分析起来有难度，但最终的结论非常简单。除了单纯写这篇题解，我也想写一下我比赛时的心路历程，看一看我落入的思维陷阱。
题目描述
Vika 和她的 k 个朋友们散布在一个有限大的国际棋盘上。在每个回合 t，Vika 和朋友都 必须同时 移动到相邻的四个格子里。虽然每次移动是同时的，但朋友们可以看到 Vika 的决策后再行动。
给定足够长的时间，问 Vika 是否可以躲开她的朋友们。
解答
这道题存在这个性质：
Vika is safe <=> None of Vika’s friends is on a cell of same colour as Vika
证明 (<=)
每一次移动时，每个人脚下的颜色都必然翻转。因此，如果 None of Vika’s friends is on a cell of same colour as Vika 在时刻 i 成立，那也会在任何一个时刻成立。既然颜色不重合，也就抓不到 Vika。
证明 (=>)
我的证明和官方题解略有（措辞上的）区别。既然我们要证明 Vika is safe => None of Vika’s friends is on a cell of same colour as Vika，那我们就可以证明其逆否命题(Contraposition):
Alice, one of Vika’s friends is on a cell of same colour as Vika => Vika is not safe
分情况讨论如下：
Vika 和 Alice 在同一行或同一列(A)
如果 Alice 和 Vika 在同一横行，也就是 Vika=(x,y), Alice=(p,y). 不失一般性，令 p<x.
Vika 横向移动(A1)
如果 Vika 向右移动到 (x+1,y), 那 Alice 同时移动到 (p+1),y. 两人间距离不变。如果重复这一步骤，Vika 会先撞墙。
如果 Vika 向左移动 (x-1,y), 因为两人初始位置同色，所以间隔至少为2. Alice 向右移动，p+1<=x-1. 两人间距缩小，肯定不会错开。
Vika 纵向移动(A2)
如果 Vika 向右移动到 (x+1,y)，那 Alice 移动到 (p+1),y. 两人间的 taxicab distance 保持不变，但转换为了不在同一行或同一列的情况
Vika 和 Alice 的行列均不相同(B)
此时 Vika=(x,y), Alice=(p,q). 我们认为两人的位置构成了一个矩形 S，且 S 包含了两人当前的位置。
Vika 下一步的位置在 S 外(B1)
那 Alice 可以同向移动。这样，矩形 S 向棋盘边界平移了一格。
Vika 下一步的位置在 S 内(B2)
Alice 下一步的位置同样也在 S 内。如果 Vika 横向移动，Alice 就纵向移动，反之亦然。这样的回合后，两人的 taxicab distance 会下降2. 因为最初色块相同，所以 taxicab distance 在任何时刻，都是2的倍数（包含0）
距离会不断下降
Vika 重复 B1 可以保持两人距离相同，但因为棋盘有界，Vika 会先撞到边缘，导致 Vika 不得不采取行动 B2，缩短两人距离。
如果 Vika 采取 A1，那也会不可避免地先撞墙。如果 Vika 执行 A2，会将局面转化为 B，但两人距离并没有拉长，最终也会因为 B2 而被 Alice 抓住。
现在 (<=) 和 (=>) 都已经证明完毕，原命题得证。
错误总结
Vika 和朋友必须移动
我不假思索地采纳了一个推论：如果朋友的数量多于棋盘的列数，那就可以朋友们站成一排，像国际象棋的兵线一样推进，Vika 也就无法逃生了。
但是，这个判断是错误的。如果所有的朋友都站在白格上，那无论怎么排，也是无法拉成一条直线的。
如何理解同时行动
在比赛时，我没能理解同时行动的含义。所以，我想当然地认为，如果出现了下图中的这种“困兽斗”的情况，Vika 是无法离开的。但我们在 (<=) 里证明，这种情况下，Vika 可以躲开所有的朋友。甚至于，如果 Vika 主动想和朋友们碰面也是做不到的。
因为这两个错误的推论，我没有对 Vika 和朋友们脚下的色块深入思考，也就没机会自己找出文首的命题。
证明追逐不会无限制地持续
在写本篇题解时，我本来想用下面一段话来证明 (=>)
虽然 Alice 和 Vika 要同时行动，但 Alice 可以看到 Vika 的决策。这样，如果 Vika 选择远离 Alice，Alice 可以只同向行动，就能保持两人的taxicab distance不变。因为地图是有界的，Vika 总会被 Alice 追到。
这句话看起来很符合直觉，但是我写下来的时候，发现这省略了一个问题：如果 Alice 一直在追逐 Vika，但无法缩短两人的 taxicab distance 怎么办？我只好花了不少时间，换了一种论证的方式。当然，这样的话又有些啰嗦。如果我一开始就使用矩形 S 来论证，可能就会精简一些。