最近看书时，接触到了 Tail-Sum Formula. 公式的定义如下
\[E(X) = \sum_{x=1}^{\infty} P(X \geq x)\]它也有一个等价形式
\[E(X) = \sum_{x=0}^{\infty} P(X \gt x)\]公式证明
在 Sinho Chewi 的笔记 上，可以看到这一公式的证明。
红框内的这步变换比较跳跃，我阅读时，在这里卡顿了很久，发现这里其实很简单。
对于原式
我们将每一行的结果 Row(X=x) 拆出来
示意图如下
我们如果竖向看这个示意图（红圈），那就可以得到另外一种形式
\[E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} Column(K=k)\] \[Column(K=k) = \sum_{x=k}^{\infty} P(X=x)\]这也就是 Sinho Chewi 所提的
\[E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{x=k}^{\infty} P(X=x)\]公式应用
在 Probability for Statistics and Machine Learning 一书中，对此定理有一个有趣的例题：
一对夫妇准备生若干个孩子，直到子女中既有男孩也有女孩。令生男孩的概率为 p，求期望的子女数。
有了 Tail Sum Formula，我们只需求解 \(P(X > n)\)，也就是 前 n 个孩子的性别相同(男或女)。那么，可以得到
注意，\(P(X = 0) = P(X = 1) = 1\)
现在套用公式，
\[E(X) = \sum_{x=0}^{\infty} P(X \gt x)\] \[E(X) = P(X = 0) + P(X = 1) + \sum_{x=2}^{\infty} P(X \gt x)\] \[E(X) = 2 + \sum_{x=2}^{\infty} [p^n + (1-p)^n]\]等比数列求和时，我们有
\[\sum_{n=2}^{\infty} a^n = (\sum_{x=1}^{\infty} a^n) - a\] \[\sum_{n=1}^{\infty} a^n = \frac{a}{1-a} \quad (-1 \lt a \lt 1)\] \[\sum_{n=2}^{\infty} a^n = \frac{a^2}{1-a} \quad (-1 \lt a \lt 1)\]带入原式，
\[E(X) = 2 + \frac{p^2}{1-p} + \frac{(1-p)^2}{1-(1-p)}\] \[E(X) = 2 + \frac{p^3 + (1-p)^3}{p(1-p)}\] \[p^3 + (1-p)^3 = p^3 + 1 - 3p + 3p^2-p^3 = 3p^2-3p+1\] \[E(X) = \frac{2p-2p^2}{p(1-p)} + \frac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}\] \[E(X) = \frac{p(p-1)+1}{p(1-p)}\]最终，得到结论
\[E(X) = \frac{1}{p(1-p)} - 1\]后记
一个非常简单的公式，在书上只用了一页不到，但我却忙了一下午才搞清楚。既然如此，不如更进一步，写一篇笔记出来，也借机迫使自己把每一步的推导弄清楚。
感谢老同学 毕睿克 为本文草稿提出的意见。
示意图 我是用 LibreOffice Calc 制作的，步骤繁琐且效率差。如果有人了解如何绘制类似图形，恳请您不吝赐教。